![]() |
![]() |
Το παράθυρο "Μήτρα"
Από το παράθυρο "Αριθμομηχανή" μπορείτε να κάνετε πράξεις σε μήτρες χρησιμοποιώντας το παράθυρο "Μήτρα". Σε αυτό το κεφάλαιο καλύπτονται τα παρακάτω θέματα:
Εισαγωγή στο παράθυρο "Μήτρα"
Για να ανοίξετε το παράθυρο "Μήτρα" πηγαίνετε στο μενού "Αριθμομηχανή" και επιλέξτε την εντολή "Προβολή Μήτρας". Θα εμφανιστεί το ακόλουθο παράθυρο:
Περιγραφή του παραθύρου "Μήτρα"
Το παράθυρο "Μήτρα" είναι ένα ανεξάρτητο παράθυρο, αλλά είναι λειτουργικά άμεσα συνδεδεμένο με την "Αριθμομηχανή". Η μεγάλη κενή επιφάνεια είναι η περιοχή που εμφανίζονται οι πράξεις με τις μήτρες. Οι ράβδοι ολίσθησης σας επιτρέπουν να βλέπετε προηγούμενους υπολογισμούς.
Παρατηρήστε ότι μπορείτε να αλλάξετε το μέγεθος του παραθύρου ανεξάρτητα από την "Αριθμομηχανή". Τοποθετήστε το δείκτη σε οποιοδήποτε πλευρά του παραθύρου, και όταν αυτός γίνει βέλος, πατήστε το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού και σύρετε μέχρι το επιθυμητό μέγεθος.
Πώς να χρησιμοποιείτε τις μήτρες
Οι μήτρες μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, υποθέστε ότι σας έχουν δοθεί οι ακόλουθες τρεις εξισώσεις:
x + 2y + 3z = 6
2x - 3y + 2z = 14
3x + y - z = - 2
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις μήτρες, για να λύσουμε ως προς x, y, και z. Για να το κάνουμε αυτό, αφαιρούμε τις μεταβλητές και αφήνουμε μόνο τους συντελεστές στη μήτρα. Αυτό σημαίνει ότι κάθε γραμμή της μήτρας (συμπεριλαμβανομένης και της πλευράς της λύσης στη μήτρα), αντιπροσωπεύει μια εξίσωση. Επίσης, κάθε στήλη περιλαμβάνει τους συντελεστές της ίδιας μεταβλητής.
Επομένως, η αντιστοιχία σε μορφή μήτρας για τις τρεις δοθείσες εξισώσεις του παραδείγματος θα είναι η εξής:
Για να βρούμε τις τιμές των x, y και z πρέπει να κάνουμε πράξεις στις γραμμές της μήτρας, μέχρι να πάρουμε τη μοναδιαία μήτρα, η οποία είναι:
Επίλυση
με μήτρες
Για να επιλύσουμε
ως προς x, y και z πρέπει να κάνουμε πράξεις στις σειρές της μήτρας, μέχρι να
τη μετασχηματίσουμε στη μοναδιαία. Τα βήματα του μετασχηματισμού είναι τα εξής:
Στο παράδειγμά μας θα δείξουμε τα διαδοχικά βήματα της επίλυσης με επαυξημένη μήτρα. Με τον όρο επαυξημένη εννοούμε ότι το δεξί μέλος των εξισώσεων του συστήματος έχει ενσωματωθεί στη μήτρα. Ξεχωρίζει από τη διακεκομμένη γραμμή, όπως φαίνεται παρακάτω:
Τώρα μπορούμε να περάσουμε ένα ένα τα βήματα. Εξ αρχής έχουμε τη μονάδα στη θέση x της πρώτης σειράς, επομένως περνάμε στο δεύτερο βήμα, δηλαδή στον πολλαπλασιασμό της πρώτης σειράς με τον αντίθετο του αριθμού στη θέση x της δεύτερης σειράς (το -2) και την πρόσθεση του αποτελέσματος στη δεύτερη σειρά. Έχουμε έτσι τη μήτρα:
Το επόμενο βήμα είναι να μηδενίσουμε το στοιχείο της στήλης του x στην τρίτη σειρά, πολλαπλασιάζοντας την πρώτη σειρά με το -3 και προσθέτοντας το αποτέλεσμα στην τρίτη σειρά. Έτσι θα πάρουμε την ακόλουθη μήτρα:
Έχουμε ολοκληρώσει το μηδενισμό των στοιχείων της στήλης του x. Τώρα συνεχίζουμε με τη στήλη του y και τη δεύτερη σειρά. Διαιρούμε τη δεύτερη σειρά με τον αριθμό στη θέση y, για να πάρουμε την επόμενη μήτρα:
Τώρα πρέπει να μηδενίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία της στήλης y. Για να το πετύχουμε πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά με το -2 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην πρώτη σειρά. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά με το 5 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην τρίτη σειρά. Καταλήγουμε έτσι στην ακόλουθη μήτρα:
Έχουμε ολοκληρώσει και το μηδενισμό των στοιχείων της στήλης του y. Τώρα συνεχίζουμε στη στήλη του z και την τρίτη σειρά. Διαιρούμε την τρίτη σειρά με τον αριθμό στη θέση z της τρίτης σειρά, για να πάρουμε την επόμενη μήτρα:
Πρέπει τώρα να μηδενίσουμε τα υπόλοιπα στοιχεία στη στήλη του z. Για να το πετύχουμε αυτό, πολλαπλασιάζουμε την τρίτη σειρά με το -1.858 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στην πρώτη σειρά. Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε την τρίτη σειρά με το -0.571 και προσθέτουμε το αποτέλεσμα στη δεύτερη σειρά. Έχουμε έτσι την παρακάτω μήτρα:
Έχουμε τελειώσει. Έχουμε την παραπάνω μοναδιαία μήτρα που μας δίνει τις τιμές των x, y, z στη δεξιά πλευρά της διακεκομμένης σειράς: x=1, y=-2, z=3. Μπορούμε να ελέγξουμε τα αποτελέσματά μας εισαγάγοντάς τα στις αρχικές μας εξισώσεις.
Εξίσωση 1 | x + 2y + 3z | = 6 |
Έλεγχος | 1+2(-2) + 3(3) | ; 6 |
1 -4 + 9 | ; 6 | |
Ολοκλήρωση ελέγχου | 6 | = 6 |
Εξίσωση 2 | 2x - 3y + 2z | = 14 |
Έλεγχος | 2(1) - 3(-2) +2(3) | ; 14 |
2 + 6 + 6 | ; 14 | |
Ολοκλήρωση ελέγχου | 14 | = 14 |
Εξίσωση 3 |
3x + y - z | = -2 |
Έλεγχος | 3(1) + 1(-2) - 1(3) | ; -2 |
3 - 2 - 1 | ; -2 | |
Ολοκλήρωση ελέγχου | -2 | = -2 |
![]() |
![]() |