Απαντήσεις
1. Στην πραγματικότητα, ο ιππότης δεν θα διανύσει ποτέ όλη την απόσταση μέχρι τη σπηλιά του δράκου, αλλά, αν του δοθεί αρκετός χρόνος, θα πλησιάσει πάρα πολύ κοντά. Λέμε ότι το όριο του ταξιδιού του ιππότη, με το πέρασμα του χρόνου, είναι 100 λεύγες.
2. Ο ιππότης ποτέ δεν θα ταξιδέψει όλη αυτή την απόσταση. Παρόλα αυτά όμως, το διάστημα που διανύει είναι τόσο κοντά στην απόσταση, όσο χρειάζεται.
Θα νοιαστεί άραγε ο δράκος αν, μετά από 28 ημέρες, ο ιππότης βρίσκεται 1,44 χιλιοστό ή 0 χιλιοστό μακριά του; Όχι, η εμπλοκή της μάχης θα έχει ξεκινήσει από πολύ νωρίτερα. Από τη μεριά του δράκου, η απόσταση που εναπομένει θα ήταν τελικά τόσο μικρή που δεν θα είχε απολύτως καμία φυσική σημασία. Αλλά, απ’ την πλευρά ενός μαθηματικού, θα υπάρχει πάντα διαχωρισμός.
Αριθμός ημερών | Απόσταση που εναπομένει (λεύγες) | Απόσταση που εναπομένει (μέτρα) |
0 1 2 7 14 21 28 |
100 50 25 0.0531 0.00415 0.00003 0.0000003 |
482800 241400 120700 3020 23.6 0.184 0.00144 |
3. Το σχήμα γίνεται όλο και περισσότερο σαν κύκλος. Δεν είναι ποτέ ένας κανονικός κύκλος, γιατί αυτό θα απαιτούσε άπειρο αριθμό πλευρών, αλλά το όριο είναι ένας κύκλος. Τα παρακάτω σχήματα έχουν 6, 12 και 24 πλευρές.
4.Το όριο της ακολουθίας των σχημάτων συχνά εξελίσσεται σε fractal. Πολλά από τα fractals (όπως το τρυπητό του Sierpinski, η νήσος του Koch και η φτέρη) προκύπτουν ως το όριο μιας άπειρης ακολουθίας λεπτομερειών ενός σχήματος.
5. Η σμίκρυνση μιας εικόνας μπορεί να επιτευχθεί μετασχηματίζοντας κατάλληλα τις συντεταγμένες κάθε σημείου στο πρωτότυπο. Τέτοιες λειτουργίες ονομάζονται απεικονίσεις (mappings).
Οι απεικονίσεις μπορούν να περιγραφούν με μετασχηματισμούς που εμπεριέχουν τις συντεταγμένες της πρωτότυπης εικόνας.
Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να απεικονίσουμε το εικονογραφημένο μοναδιαίο τετράγωνο στο κάτω δεξιό τέταρτό του.
Οι μετασχηματισμοί που απαιτούνται είναι οι εξής:
x'=0.5x+0.5
y’=0.5y
6. Για να απεικονίσουμε το
εικονογραφημένο μοναδιαίο τετράγωνο στο κάτω αριστερό τέταρτό του,
οι μετασχηματισμοί που απαιτούνται είναι οι εξής:
x'=0.5x
y’=0.5y
Για να απεικονίσουμε το εικονογραφημένο μοναδιαίο τετράγωνο στο πάνω αριστερό τέταρτό του, οι μετασχηματισμοί που απαιτούνται είναι οι εξής:
x'=0.5x
y’=0.5y+0.5
Για να απεικονίσουμε το εικονογραφημένο μοναδιαίο τετράγωνο στο πάνω δεξιό τέταρτό του, οι μετασχηματισμοί που απαιτούνται είναι οι εξής:
x'=0.5x+0.5
y’=0.5y+0.5
w2: x'=0.5x+0.25 y’=0.5y+0.5
w3: x'=0.5x+0.5 y’=0.5y
9. Aν η επαναληπτική διαδικασία των ίδιων απεικονίσεων σε κάθε τετράγωνο συνεχιστεί:
Το οριακό σχήμα που προκύπτει είναι το τρυπητό του Sierpinski.
Ένα σύνολο απεικονίσεων που χρησιμοποιείται με αυτόν τον τρόπο ονομάζεται σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (Iterated Function System), ή IFS για συντομία. Το οριακό σχήμα ή ελκυστής είναι μια ιδιότητα του IFS και είναι ανεξάρτητο από το αρχικό σχήμα.
Έτσι, οποιοδήποτε Ευκλείδειο σχήμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν το αρχικό μας σχήμα (για παράδειγμα, τρίγωνα ή κύκλοι), φτάνει να χρησιμοποιήσουμε τις ίδιες απεικονίσεις.
Εδώ ξεκινήσαμε με ένα τετράγωνο. Αν ξεκινούσαμε μ ένα κύκλο τα σχήματα που θα προέκυπταν μετά τις αρχικές επαναλήψεις θα ήταν πολύ διαφορετικά από αυτά που προέκυψαν στην περίπτωση του τετραγώνου. Όμως μετά από πολλές επαναλήψεις το οριακό σχήμα είναι πάντα το ίδιο.
Ο ελκυστής αυτής της επαναληπτικής διαδικασίας IFS είναι το τρυπητό του Sierpinski.