Κωνικές Τομές

Υπερβολή – Εξίσωση από τον ορισμό

Άσκηση

Θεωρούμε τα σημεία \(E(4,0)\) και \(E'(-4,0)\). Να βρεθεί η εξίσωση του γεωμετρικού τόπου των σημείων \(M(x,y)\) για τα αποία θα ισχύει \(|ME-ME'|=6\).
Έστω \(M(x,y)\) σημείο της υπερβολής.
Από τον ορισμό: \(|ME-ME'|=6\)
\[ \left| \sqrt{(x+4)^2+y^2} - \sqrt{(x-4)^2+y^2} \right| = 6 \]
Πρώτο βήμα: υψώνουμε στο τετράγωνο ώστε να φύγει η απόλυτη τιμή.
\[ \left( \sqrt{(x+4)^2+y^2} - \sqrt{(x-4)^2+y^2} \right)^2 = 36 \]
Αναπτύσσουμε: \[ (x+4)^2+y^2+(x-4)^2+y^2 - 2\sqrt{(x+4)^2+y^2}\sqrt{(x-4)^2+y^2} = 36 \]
Υπολογίζουμε: \[ (x+4)^2+(x-4)^2 = 2x^2+32 \]
\[ 2x^2+2y^2+32 - 2\sqrt{(x+4)^2+y^2}\sqrt{(x-4)^2+y^2} = 36 \]
Διαιρούμε με \(2\): \[ x^2+y^2+16 - \sqrt{(x+4)^2+y^2}\sqrt{(x-4)^2+y^2} = 18 \]
\[ \sqrt{(x+4)^2+y^2}\sqrt{(x-4)^2+y^2} = x^2+y^2-2 \]
Υψώνουμε ξανά στο τετράγωνο:
\[ \big((x+4)^2+y^2\big)\big((x-4)^2+y^2\big) = (x^2+y^2-2)^2 \]
Γράφουμε: \[ (x+4)^2+y^2 = x^2+y^2+16+8x \] \[ (x-4)^2+y^2 = x^2+y^2+16-8x \]
\[ (x^2+y^2+16+8x)(x^2+y^2+16-8x) = (x^2+y^2-2)^2 \]
Χρησιμοποιούμε: \[ (A+B)(A-B)=A^2-B^2 \]
\[ (x^2+y^2+16)^2-64x^2 = (x^2+y^2-2)^2 \]
Αναπτύσσουμε: \[ x^4+2x^2y^2+y^4+32x^2+32y^2+256-64x^2 = x^4+2x^2y^2+y^4-4x^2-4y^2+4 \]
Απλοποιούμε: \[ -32x^2+32y^2+256 = -4x^2-4y^2+4 \]
Μεταφέρουμε: \[ -28x^2+36y^2+252=0 \]
\[ 28x^2-36y^2=252 \]
Διαιρούμε με \(252\): \[ \frac{28x^2}{252}-\frac{36y^2}{252}=1 \]
\[ \boxed{\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1} \]
Η αρχική σχέση είναι: \[ |ME-ME'|=6 \]
Οι εστίες είναι: \[ E(4,0), \quad E'(-4,0) \]
Άρα: \[ 2\gamma=8 \Rightarrow \gamma=4 \]
Επίσης: \[ 2\alpha=6 \Rightarrow \alpha=3 \]
Για υπερβολή ισχύει: \[ \beta^2=\gamma^2-\alpha^2 \]
Άρα: \[ \beta^2=16-9=7 \]
\[ \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1 \]
Η υπερβολή έχει: Κέντρο: \((0,0)\) Εστίες: \((\pm4,0)\) Κορυφές: \((\pm3,0)\)
Οι ασύμπτωτες είναι: \[ y=\pm\frac{\sqrt7}{3}x \]

Η γραφική παράσταση της \(y=\frac{1}{x}\)

Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης \[ y=\frac{1}{x} \] είναι υπερβολή.
Ξεκινάμε από τη συνάρτηση: \(y=\frac{1}{x}\)
Πολλαπλασιάζουμε με \(x\): \(xy=1\)
Η εξίσωση \(xy=1\) δεν είναι στη γνωστή μορφή υπερβολής.
Θα κάνουμε αλλαγή μεταβλητών (στροφή αξόνων): \(x=\frac{X+Y}{\sqrt2}, \quad y=\frac{X-Y}{\sqrt2}\)
Υπολογίζουμε: \(xy=\frac{X+Y}{\sqrt2}\cdot\frac{X-Y}{\sqrt2}\)
Άρα: \(xy=\frac{X^2-Y^2}{2}\)
Επειδή \(xy=1\), παίρνουμε: \(\frac{X^2-Y^2}{2}=1\)
Πολλαπλασιάζουμε με 2: \(X^2-Y^2=2\)
Διαιρούμε: \(\frac{X^2}{2}-\frac{Y^2}{2}=1\)
Αυτή είναι εξίσωση υπερβολής.
Άρα: \(\boxed{y=\frac{1}{x}}\) είναι υπερβολή.
Οι νέοι άξονες είναι: \(y=x\) \(y=-x\)
Δηλαδή η υπερβολή είναι στραμμένη κατά \(45^\circ\).
Οι άξονες συμμετρίας της είναι οι ευθείες: \(y=x\) \(y=-x\)
Η γραφική παράσταση αποτελείται από δύο κλάδους: \(x>0\) \(x<0\)
Οι ασύμπτωτες είναι: \(x=0\) \(y=0\)
Άρα η υπερβολή είναι ισοσκελής (ορθογώνια).